Comparaisons de lois de probabilité en Radar à Synthèse d’Ouverture

Contexte : Le développement récent de l’imagerie Radar à Synthèse d’Ouverture (RSO) et la couverture régulière de la Terre par de tels capteurs ouvre de nouvelles perspectives pour l’observation de la Terre. Cependant ces images, obtenues en éclairage cohérent, présentent un aspect de granularité, plus communément appelé “speckle” (phénomène rencontré aussi en imagerie acoustique et en imagerie laser). Ce phénomène, intrinsèque à la formation de l’image, et qui s’apparente à du bruit multiplicatif appliqué sur la texture sous jacente, dégrade la lisibilité des images et limite de ce fait l’application de techniques classiques en traitement d’image.  La segmentation de telles images, préambule à une tache de classification ou de filtrage, nécessite des outils dédiés prenant en compte la nature spécifique du speckle et l’expression de sa densité de probabilité. Aussi est-il important de connaı̂tre les lois qui peuvent effectivement être utilisées dans un tel contexte
Or les caractéristiques de ces lois (et en particulier le fait qu’une image dite “en amplitude” a ses pixels définis sur IR + ) ont permis d’établir un formalisme fondé sur la transformée de Mellin qui permet la définition d’outils nouveaux (log-moments, log-cumulants) bien adaptés à ces lois de probabilités [1].
En parallèle, des travaux récents menés à Télécom-ParisTech [2] ont montré qu’à peu près toutes ces lois de probabilité avaient une expression assez naturelle sous forme de fonctions de Meijer. Comme la dérivée et la primitive d’une fonction de Meijer sont des fonctions de Meijer, on voit que cette constatation permet de connaı̂tre en particulier la fonction de répartition (cumulative function) grâce à laquelle on peut envisager d’effectuer des simulations de toutes ces lois plus ou moins exotiques. Ces aspects théoriques, sur lesquels il reste beaucoup à découvrir, sont très faciles à mettre en œuvre puisque, par exemple, le langage Python reconnaı̂t les fonctions de Meijer dans sa librairie mpmath. Ceci ouvre les portes à des validations par simulation : des premiers tests effectué à Télécom ParisTech ont montré le bien fondé de cette démarche.

Travail demandé : L’objectif du projet est de proposer une distance entre lois de probabilité bien adaptée au cadre théorique “Mellin-Meijer”. On pourra privilégier deux axes :
– un axe dédié aux distances de Kullback. Pour certaines lois, cette distance s’exprime à l’aide des log-cumulants. A priori, les formes analytiques obtenues ne permettent pas cette généralisation systématique.
– un axe dédié à la distance de Kolmogorov-Smirnov. Celle-ci demande de connaı̂tre la fonction de répartition, ce que donne le formalisme Meijer. Si l’approche analytique s’avèrerait trop redoutable, des tests de simulation permettraient d’avoir une idée plus claire sur le degré de ressemblance que peuvent présenter deux lois.

Bibliograhie:
[1] JM Nicolas, Application de la transformée de Mellin : étude des lois statistiques de l’imagerie cohérente,
rapport de recherche 2006D010
[2] JM Nicolas, Les distributions de Meijer et leurs propriétés en statistiques de Mellin, rapport de recherche
2011D002

Encadrement : Jean-Marie Nicolas
Email : jean-marie.nicolas@telecom-paristech.fr

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